영 부등식

1. 개요 [편집]

1/p+1/q=1

일때,

ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}

가 성립한다.(등호는

a^p = b^q

일때만 성립)
횔더 부등식을 증명할 때 이용된다.

2. 증명 [편집]

젠센 부등식이 사용되니 참조.

$\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})$ 에서 자연로그함수는 오목함수이니 젠센 부등식을 이용하면 $1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q)$ 보다 큼을 알 수 있다.
로그법칙에 의해 $1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) = \ln{a}+\ln{b}$ 이다. 즉,
$1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) \geq \ln{a}+\ln{b}$ 이다.
$\therefore ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$